Геометрия картины


Перейти к содержанию

ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО РИТМА

А.Н.Поплавный
Московский государственный гуманитарный университет им. М.А.Шолохова, г. Москва, 2007.

ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО РИТМА


Композиционный ритм – это тип связи между фигурами живописных пятен на картинной плоскости [5]. Такие связи изучаются в геометрии, в разделе «Геометрические преобразования» [1,2,3,4]. В этой статье мы проведем краткий обзор этих преобразований.

Геометрические преобразования – это аппарат, с помощью которого устанавливается взаимно однозначное соответствие между точечными множествами плоскости. Данное определение, возможно, станет понятнее, если обратиться за аналогиями к танцующей молодежи, когда мальчики и девочки разбиваются на пары. Так вот, геометрическое преобразование можно сравнить с танцем, в котором все точки плоскости разбиваются на пары, и каждой «точке-мальчику» ставится в соответствие единственная «точка-девочка». Такое соответствие между точками плоскости является взаимно однозначным. Обязательными при этом будут следующие требования:

1) точка преобразуется в точку;
2) прямая линия преобразуется в прямую;
3) точка, лежащая на некоторой прямой, преобразуется в точку, лежащую на соответственной прямой.

Правила, по которым устанавливается соответствие, могут быть различными, что определяет и разнообразие преобразований. Но по характерным свойствам все они делятся на четыре группы: ортогональные, подобные, аффинные и проективные преобразования.

1. Ортогональные преобразования включают в себя симметрию (рис.1), центральную симметрию (рис.2), параллельный перенос (рис.3) и поворот (рис.4). Определяющим свойством этих преобразований является то, что они оставляют неизменными длины отрезков и углы, и тем самым сохраняют равенство фигур.

На рисунке 1 представлен пример симметрии, известный нам еще по школьному курсу геометрии. Это преобразование каждой точке А ставит в соответствие ее образ – точку А1, причем точки A и A1 должны быть равноудалены от оси симметрии s и расположены на перпендикуляре к s.




Рис.1. Симметрия.


Центральная симметрия несколько по-иному организует точки плоскости (рис.2). Любая пара соответственных точек А и А1 лежит на прямой, проходящей через центр симметрии – точку О. Причем АО = ОА1.




Рис.2. Центральная симметрия.


Параллельный перенос вполне определяется своим вектором n. Для любой точки А ее образ – точка А1 лежит на конце вектора АА1, проходящего через А и равного n (рис.3).




Рис.3. Параллельный перенос.


При таком преобразовании как поворот соответственные точки А, А1 лежат на дугах окружностей с центром О. При этом направление поворота и его угол также фиксированы (рис.4).




Рис.4. Поворот.


2. Подобные преобразования гомотетия и подобие общего вида. Что характерно, эти преобразования не сохраняют равенства отрезков, но оставляют неизменными углы. Здесь фигуры, меняясь в размере, сохраняют свою форму.

Гомотетия (рис. 5) определяется своим центром – точкой O и парой соответственных точек A и A1, лежащих на одной прямой с точкой O и таких, что OA1 : OA = k, где k – постоянная величина (коэффициент гомотетии). Образно говоря, под воздействием гомотетии плоскость растягивается (сжимается) от центра О одновременно во всех направлениях.




Рис.5. Гомотетия.


Подобие общего вида представляет собой произведение поворота на гомотетию. Это означает последовательное выполнение двух преобразований одного за другим. Поворот преобразует фигуру F в F0, а затем гомотетия – фигуру F0 в F1. Фигура F1 соответствует фигуре F (рис.6).




Рис.6. Подобие общего вида


3. Аффинные преобразования включают в себя родственные преобразования, повороты: эллиптический, гиперболический и параболический, и др. (по одной из классификаций существует двадцать девять видов аффинных преобразований [2]). Эти преобразования не сохраняют ни равенства отрезков, ни равенства углов. Единственное свойство, которое их характеризует, это сохранение простого отношения трех точек, лежащих на одной прямой. При этом сохраняется параллельность прямых, т.е. фигура, имеющая пару параллельных прямых до преобразования, сохраняет их и после преобразования.

Родственные преобразования
(рис.7–10). Существует четыре их разновидности: отражение от прямой, растяжение от прямой, отражение с растяжением от прямой и, также, сдвиг. В этих преобразованиях все пары соответственных точек А, А1 лежат на параллельных прямых, определяющих направление родства. Прямая s называется осью родства. Угол между направлением родства и его осью может быть любым. Отношение АХ к А1Х, где Х – точка пересечения прямой АА1 с осью родства s, является величиной постоянной и называется коэффициентом родства.

Отражение от прямой
(косая симметрия) аналогично симметрии, так как соответственные точки А и А1 равно удалены от оси s и АХ = А1Х (рис.7). Но в отличие от симметрии здесь угол между направлением родства АА1 и осью s не обязательно является прямым.



Рис.7. Отражение от прямой (косая симметрия).


Растяжение от прямой (рис.8). При этом преобразовании плоскость растягивается (сжимается) от оси растяжения s по направлению растяжения АА1. Коэффициент растяжения k = A1X : AX.




Рис.8. Растяжение от прямой.


Отражение с растяжением от прямой (рис.9). Это преобразование получается в результате последовательного выполнения двух предыдущих преобразований: отражение переводит фигуру F в F0, затем растяжение преобразует F0 в F1. Фигуры F и F1 будут соответственными в этом преобразовании.




Рис.9. Отражение с растяжением от прямой.


Сдвиг (рис.10). Родственное преобразование, в котором направление родства АА1 параллельно оси родства s, называется сдвигом.




Рис.10. Сдвиг.


Любое родственное преобразование определяется вполне своей осью s и парой соответственных точек А и А1.

Кроме родства к аффинным преобразованиям относятся также и повороты: эллиптический, гиперболический и параболический. В отличие от родственных преобразований здесь соответственные точки будут располагаться не на прямых линиях, а на эллипсах, гиперболах и параболах.

Эллиптический поворот
(рис.11). Путь от точки А к ее образу А1 совершается тремя операциями: 1) растяжение плоскости от оси s (точка А преобразуется в А0) ; 2) поворот плоскости вокруг точки О, лежащей на оси s, на угол А0ОА' (А0 преобразуется в точку А') ; 3) сжатие плоскости к оси s (А' преобразуется в точку А1). При этом коэффициенты растяжения и сжатия обратно пропорциональны. В результате фигура F преобразуется в фигуру F1.




Рис.11. Эллиптический поворот.


В гиперболическом повороте (рис.12) соответственные точки А, А1 располагаются на гиперболах с асимптотами x и y. Это преобразование осуществляется путем последовательного выполнения двух операций. Вначале плоскость сжимается к оси х по направлению оси y (точка А преобразуется в точку А0), затем растягивается от оси у по направлению оси х (А0 преобразуется в точку А1). Сжатие и растяжение имеют обратно пропорциональные коэффициенты. Аналогичным образом все точки фигуры F преобразуются в соответственные точки фигуры F1.




Рис.12. Гиперболический поворот.




Рис.13. Параболический поворот.


Параболический поворот (рис.13) также может быть представлен в виде последовательного выполнения двух преобразований – сдвига и параллельного переноса. Сдвиг преобразует фигуру F в F0 , а перенос – фигуру F0 в F1. Фигуры F и F1 являются соответственными в параболическом повороте.

Рассмотренные выше семь примеров далеко не исчерпывают всех аффинных преобразований, полный перечень которых дан в таблице в конце статьи

4. Проективные преобразования коллинеации, в частности – гомологии (рис.15,16). Определяющим свойством проективных преобразований является сохранение двойного отношения четырех точек, лежащих на одной прямой.




Рис.14. Метод центрального проектирования


Получить наглядное представление о сути проективных преобразований нам поможет рисунок 14. Заданы плоскости Р и К и точка S'. Пусть в плоскости Р задано ортогональное преобразование – параллельный перенос с помощью двух соответственных точек А' и А'1. Фигуры F' и F'1 также будут связаны этим преобразованием. Далее отобразим плоскость Р на плоскость К из центра S'. В итоге получим на плоскости К перспективное изображение элементов плоскости Р. А параллельный перенос, установленный в плоскости Р, трансформируется на плоскости К в проективное преобразование под названием параболическая гомология. Здесь прямая h (проекция несобственной прямой плоскости Р) является осью гомологии, а точка S – центром гомологии. А и А1 – пара соответственных точек параболической гомологии. F и F1 – пара соответственных фигур.

Аналогичной трансформации можно подвергнуть и другие ортогональные и подобные преобразования. При этом симметрия превратится в
инволюционную гиперболическую гомологию, гомотетия – в гиперболическую гомологию и т.п. Приведем пару примеров. На рисунках 15 и 16 приведены примеры параболической и гиперболической гомологий соответственно. Каждая из них задается парой двойных элементов, прямой h и точкой S, и парой соответственных точек A и A1, лежащих с точкой S на одной прямой. В параболической гомологии точка S принадлежит прямой h, а в гиперболической – нет. Для любой точки B построить ей соответствующую точку B1 можно на основе следующего алгоритма:




Рис. 15. Пример параболической гомологии



1. Проведем через точку B прямую AB до пересечения с h в точке N и прямую SB.
2. Соединим прямой линией точки
N и A1.
3. На пересечении прямых
SB и NA1 и лежит искомая точка B1.




Рис. 16. Пример гиперболической гомологии


Заканчивая на этом краткий обзор геометрических преобразований, отметим несколько их свойств, весьма важных для нас.

Двойные элементы преобразований.
Важнейшим свойством геометрических преобразований является наличие двойных (неподвижных) точек и прямых. Эти элементы остаются неподвижными, переходят сами в себя. Например, центральная симметрия (см. рис.2) каждой точке A ставит в соответствие точку A1. Но есть единственная точка O – центр симметрии, которая соответствует сама себе. Точка O – двойная (неподвижная) точка преобразования.

Примером двойной линии служит, например, ось симметрии (см. рис.1) или ось родства
s в родственных преобразованиях (см. рис. 7 – 10).

В некоторых преобразованиях нет двойных точек (напр., параллельный перенос), а у некоторых нет двойных прямых (напр., поворот). Кроме того, есть преобразования, одновременно содержащие и двойную точку, и двойную прямую (напр., гомологии). И в этом случае возможны два варианта: двойная точка может или принадлежать двойной прямой, или нет. Примером могут
служить соответственно параболическая и гиперболическая гомологии (рис.15,16).

Произведение преобразований.


Произведением преобразований называется результат их последовательного выполнения. В качестве примера рассмотрим скользящую симметрию (рис.17).




Рис.17. Скользящая симметрия.


Пусть осевая симметрия b преобразует фигуру F в F0. Задан также параллельный перенос b своим вектором n, причем n параллелен оси симметрии s. Последовательно выполнив эти преобразования одно за другим – сначала a, потом b – мы тем самым преобразуем F в F0, а затем в F1. Полученное таким образом преобразование фигуры F в F1 называют произведением преобразований и обозначают ab.

Мы и ранее по тексту встречались с операцией умножения преобразований. Так, например, можно вспомнить аффинные повороты – эллиптический, гиперболический и параболический.

Инволюция.


Инволюцией называют преобразование, совпадающее со своим обратным преобразованием, то есть это такое преобразование, которое при умножении самого на себя дает тождественное преобразование [4]. Примером инволюции может быть, например, симметрия.

Итак, в предыдущей статье [5] было дано определение композиционному ритму, согласно которому ритм зависит от типа связи между фигурами пятен. А здесь был дан обзор геометрических преобразований, с помощью которых устанавливается такая связь. Таким образом, тип связи между фигурами живописных пятен определяется типом геометрического преобразования. Следовательно, и ритм композиционной структуры также определяется конкретным геометрическим преобразованием. И можно сказать, что геометрические преобразования играют роль конструкции в композиционной структуре картины.

Примером могут служить «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи, пейзажи «Золотая осень» и «Мостик. Саввинская слобода» Левитана, композиционная конструкция которых весьма лаконична [5].

Ниже приведена таблица с полным перечнем аффинных преобразований плоскости [2].


Таблица аффинных преобразований плоскости [2]


п/п

Название
преобразования

Наглядное изображение

Наличие двойных
элементов

1

Отражение от прямой ( косая симметрии)

См. рис. 7

Ось s

2

Растяжение от прямой

См. рис. 8

Ось s

3

Отражение с растяжением от прямой

См. рис. 9

Ось s

4

Сдвиг

См. рис. 10

Ось s

5

Отражение от точки (центральная симметрия)

См. рис. 2

Центр О

6

Гомотетия

См. рис. 5

Центр О

7

Гомотетия с отражением от центра

Центр О

8

Растяжение с отражением от центра

Центр О
O

9

Растяжение с отражением от траектории

Центр О

10

Гомотетическое отражение

Центр О
O

11

Сдвиг с отражением от точки

Центр О
O

12

Гомотетический сдвиг

Центр О
O

13

Гомотетический сдвиг с отражением от точки

Центр О
O

14

Параллельный перенос

См. рис. 3

 

15

Скользящее отражение (скользящ.
симметрия)

См. рис. 17

Ось s

16

Скользящее растяжение

Ось s

17

Скользящее отражение с растяжением

Ось s

18

Гиперболический поворот

Центр О

19

Гиперболический поворот с отражением от центра

Центр О

20

Гиперболический поворот с отражением от асимптоты

Центр О

21

Гомотетический гиперболический поворот

Центр О

22

Гомотетический гиперболический поворот с отражением от центра

Центр О

23

Гомотетический гиперболический поворот с отражением от асимптоты

Центр О

24

Эллиптический поворот

Центр О

25

Инволютивный поворот

Центр О

26

Гомотетический эллиптический поворот

Центр О

27

Гомотетический инволютивный поворот

Центр О

28

Параболический поворот

См. рис. 13

_____

29

Тождественное преобразование

_____

_____

       
       


*Символическая запись
O означает, что точка О принадлежит прямой s.

Литература

1
. Вольберг О. Основные идеи проективной геометрии. Л.-М., 1935.
2. Комиссарук А.М. Основы аффинной геометрии на плоскости. Минск., 1967.
3. Моденов П.С., ПархоменкоА.С. Геометрические преобразования. М., 1961.
4. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия. М., 2000.
5. Поплавный А.Н. Движение и ритм в композиции картины. М., 2007.

Главная | Аннотация | Статьи | Геометрия картины | Галерея | Контакты | Карта сайта


Назад к содержанию | Назад к главному меню
Яндекс.Метрика