Геометрия картины


Перейти к содержанию

КРУГОВОЕ СЕЧЕНИЕ В РЕСУНКЕ

А.Н.Поплавный
Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова, г. Москва, 2009.


КРУГОВЫЕ СЕЧЕНИЯ В РИСУНКЕ

«Азы» обучения рисунку связаны с рисованием натюрмортов, атрибутика которых не обходится без тел вращения, у каждого из которых обязательно есть круговые сечения в виде круглых донышек, горлышек различных предметов быта. Известно, что на рисунке контур такого кругового сечения изображается как эллипс (в частном случае – как окружность или отрезок прямой линии) [1]. А одним из важных геометрических свойств эллипса является наличие у него двух осей – большой (m) и малой (n), взаимно перпендикулярных и делящих друг друга пополам (рис.1).




Рис.1. Конус с круговым основанием


Так вот, использование в рисунке именно этого свойства и является наиболее эффективным при изображении круговых сечений, так как сводится к выполнению всего лишь двух операций, а именно: определению положения одной из осей эллипса (вторая ось воспроизводится автоматически) – это раз, и определению пропорционального соотношения этих осей – это два. Это не составляет особого труда для опытного рисовальщика, использующего лишь свой глазомер. И наблюдения подсказывают ему, что на рисунке положение большой оси
m эллипса зависит от направления оси i тела вращения и что угол между m и i возможно будет прямым (рис.1). Это предположение требует доказательства, чему и будет посвящена данная статья.

Трудность здесь заключается в том, что доказательство этой гипотезы связано со зрительным восприятием. А глаз человека имеет сложнейшее устройство – это часть мозга, вынесенная за его пределы. В арсенале же геометрии есть лишь один аппарат, аппарат купольной (сферической)
перспективы [2], который наиболее адекватен человеческому глазу в способе получения изображения. В купольной перспективе любая точка Т пространства отобразится из центра S на сфере s точкой Т0 (рис.2). Но использование купольной перспективы осложняется трудностями операций со сферической картинной поверхностью (рис.4).




Рис. 2.
Аппараты купольной и линейной перспектив.

Упростим ситуацию. Поскольку нас интересует мера видимого угла между осью ТО конуса f и диаметрами окружности c, проходящими через О, то мы проделаем следующие операции:

1) спроектируем из S точку О на сферу s, получим точку О0;
2) через точку
О0 проведем плоскость K, касательную к сфере s и, соответственно, перпендикулярную лучу ;
3) сферу
s заменяем картинной плоскостью K, тем самым, заменив аппарат купольной перспективы аппаратом линейной перспективы с тем же центром S.

И хотя изображения конуса в этих двух перспективах и будут различны, но купольная и линейная перспективы области точки
О1 О0 будут идентичны, что для нас чрезвычайно важно.

Основными элементами аппарата линейной перспективы являются тот же центр проекций – точка S и картинная плоскость K. Отобразим на K прямой круговой конус f. Изображение (перспектива) на картинной плоскости любой точки O пространства, определяется как точка O1 пересечения луча SO c плоскостью K (рис.2). Любой отрезок пространственной прямой, например TO, изобразится на K как отрезок T1O1, лежащий на линии пересечения проектирующей плоскости STO c K. А окружность с, лежащая в основании конуса, отобразится на K в виде эллипса c1 (рис.3). Что вполне естественно, так как проектирующий конус с вершиной S и направляющей окружностью с пересекается картинной плоскостью по эллипсу c1 (рис.5).

Перспективное изображение конуса
f на картине K приведено на рисунке 3. Но чтобы объяснить закономерности взаимного расположения элементов этого изображения (А1В1, C1D1, T1O1), мы воспользуемся парой геометрических аксиом и короткой цепочкой умозаключений.

Аксиома 1 (А1)
. Прямая будет перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Аксиома 2 (А2)
. Две плоскости будут взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Итак, у окружности
c есть пара взаимно перпендикулярных (сопряженных) диаметров – АВ и CD, где АВ параллелен картинной плоскости K (рис.2). Поэтому из всех пар сопряженных диаметров окружности c диаметры АВ и CD изобразятся на K как самый длинный и самый короткий соответственно (А1В1 и C1D1 на рис.3). Причем А1В1 будет перпендикулярен C1D1. Почему? Потому что три плоскости – проектирующие плоскости SАВ, SCD и картинная плоскость K (рис.2) – взаимно перпендикулярны (А1, А2).

Проекция
T1O1 получилась от пересечения плоскости STO с K (рис.2). Отрезки T1O1 и C1D1 будут лежать на одной прямой, потому что проектирующие плоскости STO и SCD совпадают (А1). И если это так, то на перспективном изображении А1В1 будет перпендикулярен как C1D1 так и T1O1 (рис.3).




Рис. 3. Перспективное изображение конуса

Таким образом, мы выяснили, что в линейной перспективе угол между проекциями А1В1 и T1O1 будет прямым. Следовательно, и в купольной перспективе угол между А0В0 и T0O0 также будет прямым, несмотря на то, что А0В0 и T0O0 будут дугами окружностей (рис.4). Это вселяет надежду, что по этим же правилам получается изображение на сетчатке глаза, устилающей дно глазного яблока.




Рис.4. Картинная поверхность купольной перспективы.

Далее. T1O1 – проекция оси конуса, А1В1 – самая большая проекция диаметра окружности основания конуса (рис.3). Но является ли А1В1 большой осью эллипса c1? Остановимся на этом поподробнее, используя лишь аппарат линейной перспективы (рис.5).




Рис.5. Аппарат линейной перспективы

На рисунке 5 изображен классический аппарат линейной перспективы, основными элементами которого являются: центр проекций точка S', картинная плоскость K и предметная плоскость P. Причем P и K взаимно перпендикулярны. Точка S – так называемая точка стояния – это ортогональная проекция центра S' на плоскости P. Точка R – главная точка картины, отрезок RS перпендикулярен картинной плоскости K. Пусть в плоскости P задана окружность с. Спроектировав ее из центра S' на картинную плоскость K, мы получим перспективное изображение – эллипс с1. Рассмотрим более детально процесс получения этой перспективы (рис.6).

На рисунке 6 представлен вид сверху нашего аппарата линейной перспективы вместе с окружностью
с, лежащей в плоскости P. Опишем около с квадрат 3-4-5-6, который отобразится на K фигурой 31-41-51-61 (рис.7). Диагонали квадрата, пересекающиеся в точке О, изобразятся отрезками 31-51 и 41-61, пересекающимися в точке О1. И здесь очевидно, что точка О1 – перспектива центра окружности – не является центром эллипса с1, так как, во-первых, перспективное искажение делает C1O1 > O1D1. Да к тому же, если провести через S пару прямых, касательных к окружности с в точках 1 и 2, то хорда 1-2, которая короче диаметра AB, отобразится на картине отрезком 1121 > A1B1 (рис.6 и 7). И по этим двум показателям A1B1 не может быть большой осью эллипса с1.




Рис.6. Окружность в аппарате линейной перспективы (вид сверху)



Рис.7. Перспектива окружности

Так, где же нам искать большую ось эллипса с1?

Повторим отображение окружности
с на картине K (рис.8 и 9), но несколько в иной конфигурации, чем в предыдущем примере. Опишем вокруг окружности с полный четырехугольник 3-4-5-6 [2], такой, чтобы стороны 3-4 и 5-6 проходили через точку стояния S и касались окружности в точках 1 и 2 соответственно, а стороны 3-6 и 4-5 были параллельны плоскости K (рис.8). Тогда еще две стороны полного четырехугольника 3-5 и 4-6 пересекутся в диагональной точке E. Точки C, D, 1 и 2 – точки касания сторон четырехугольника и окружности с. Точки D, C, E, S в двойном отношении гармонически сопряжены, то есть DC : CE = DS : SC [2]. Теперь спроектируем построенную конфигурацию из центра S' на плоскость K (рис.8). Получим ее перспективное изображение (рис.9).



Рис.8. Окружность в аппарате линейной перспективы (вид сверху)



Рис.9. Перспектива окружности

Стороны 3-4 и 5-6 изобразятся на K двумя вертикальными отрезками 31-41 и 51-61, потому что 3-4 и 5-6 проходят через точку стояния S, а стороны 3-6 и 4-5 – двумя горизонтальными отрезками 31-61 и 41-51 (рис.9). Конфигурации 3-4-5-6 и 31-41-51-61 перспективны и поэтому проективно соответствуют друг другу. Двойное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, является неизменным в проективном соответствии. Поэтому гармоническая четверка точек D, C, E, S изобразится на K гармонической четверкой точек D 1, C 1, E1, R1. А так как R1 – бесконечно удаленная точка плоскости K, то точка E1 будет делить отрезок C1D1 пополам и C1E1 = E1D1. Поэтому отрезок 1121, проходящий через E1, делит ось C1D1 пополам. Это раз. Во-вторых, отрезок 1121 перпендикулярен C1D1, так как 1121 был параллелен, в свою очередь, A1B1 (рис.6 и 7).

Следовательно, отрезки
1121 и C1D1 являются большой и малой осями эллипса с1, так как они делят друг друга пополам и взаимно перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Таким образом, налицо несовпадение центров
O1 и E1 (рис.7). Но в практике рукодельного рисунка это несовпадение бывает часто столь незначительным, что им пренебрегают.

Подведем итоги. В каком бы ракурсе мы ни смотрели на тело вращения с круговым сечением, видимый эллипс, в который превращается круговое сечение, и ось тела вращения будут всегда закономерно связаны –
оси m, i будут взаимно перпендикулярны*. Чему нужно следовать и в рисунке (рис.10).




Рис.10
. Круговые сечения в рисунке.

Если же нам предстоит нарисовать некую окружность с, лежащую в произвольной плоскости P, то необходимо:

1) мысленно в пространстве восставить перпендикуляр к плоскости
P из центра окружности с и зафиксировать его на рисунке;
2) отсечь на перпендикуляре малую ось эллипса, в который превращается окружность
с;
3) далее через середину малой оси и ей перпендикулярно можно провести большую ось эллипса и «на глаз» определить ее крайние точки;
4) используя полученные четыре точки (крайние точки осей), нетрудно нарисовать и эллипс, памятуя о том, что оси эллипса являются и его осями симметрии (рис.11).




Рис.11. Этапы построения окружности

Чем же отличаются между собой рисунок и линейная перспектива при изображении одного и того же кругового сечения? Рисунок можно сравнить с изображением в купольной перспективе, сферическая поверхность проекций которой распластана на листе бумаги.

* В линейной перспективе величина этого угла может быть отличной от 90° [2].

Литература

1. Ли Н.Г. Основы учебного рисунка. М., 2006.
2. Пеклич В.А. Начертательная геометрия. М., 2007.
3. Станков А.Г.. Анатомия человека. М., 1959.



Главная | Аннотация | Статьи | Геометрия картины | Галерея | Контакты | Карта сайта


Назад к содержанию | Назад к главному меню
Яндекс.Метрика